Metode dual simpleks digunakan jika tabel optimal tidak layak. Jika fungsi kendala ada yang menggunakan pertidaksamaan ≥ dan tidak ada = dalam bentuk umum PL, maka metode dual simpleks dapat digunakan. Kita selesaikan contoh di bawah ini.

Min z = 21x1 + 18x2 + 15x3

                             Terhadap 90x1 + 20x2 + 40x3 ≥ 200
                                             30x1 + 80x2 + 60x3 ≥ 180
                                             10x1 + 20x2 + 60x3 ≥ 150
                                               x1, x2, x3 ≥ 0



semua kendala menggunakan pertidaksamaan ≥. Kendala dengan pertidaksamaan ≥ dapat diubah ke pertidaksamaan ≤ dengan mengalikan pertidaksamaan dengan -1. Bentuk umum PL di atas berubah menjadi:

Min z = 21x1 + 18x2 + 15x3

                               Terhadap -90x1 - 20x2 - 40x3 ≤ -200

                                               -30x1 - 80x2 - 60x3 ≤ -180 

                                               -10x1 - 20x2 - 60x3 ≤ -150 

                                               x1, x2, x3 ≥ 0
Semua fungsi kendala sudah dalam bentuk pertidaksamaan ≤, maka kita kita hanya perlu menambahkan variabel slack untuk mengubah bentuk umum ke bentuk baku/standar. Variabel slack akan berfungsi sebagai variabel basis awal.
Bentuk Baku/standar:


Min z = 21x1 + 18x2 + 15x3 + 0s1 + 0s2 + 0s3
Terhadap
-90x1 - 20x2 - 40x3 + s1 = -200




-30x1
- 80x2 - 60x3 + s2 = -180




-10x1
- 20x2 - 60x3 + s3 =
-150




     x1, x2, x3, s1, s2, s3 ≥0
 

  












VB
X1
X2


X3
S1
S2
S3
NK










Z
-21
-18


-15
0
0
0
0










S1
-90
-20


-40
1
0
0
-200
S2
-30
-80

-60
0
1
0


-180
S3
-10
-20

-60
0
0
1


-150











Tabel di atas optimal tapi tidak layak (ingat, untuk fungsi tujuan minimisasi, tabel sudah optimal jika semua koefisien baris tujuan sudah negatif atau 0). Untuk membuat tabel tersebut layak, kita harus gunakan metode dual simpleks. Langkah-langkah penyelesaian simpleks menggunakan metode dual adalah:
1.     Tentukan baris pivot. Baris pivot adalah baris dengan nilai kanan negatif terbesar. Jika negatif terbesar lebih dari satu, pilih salah satu sembarang.

2.     Tentukan kolom pivot. Kolom pivot diperoleh dengan terlebih dahulu membagi nilai baris z dengan baris pivot. Dalam hal ini, semua nilai baris pivot dapat menjadi pembagi kecuali nilai 0. Kolom pivot adalah kolom dengan rasio pembagian mutlak terkecil. Jika rasio pembagian mutlak terkecil lebih dari satu, pilih salah satu secara sembarang.
3.     Pembentukan tabel berikutnya sama dengan prosedur dalam primal simpleks.

Gunakan tabel awal simpleks di atas.

¾    Baris pivot adalah baris S1, baris dengan nilai kanan negatif terbesar.
VB
X1
X2
X3
S1
S2
S3
NK








Z
-21
-18
-15
0
0
0
0








S1
-90
-20
-40
1
0
0
-200
S2
-30
-80
-60
0
1
0

-180
S3
-10
-20
-60
0
0
1

-150








¾ Kolom pivot adalah kolom X1












VB
X1
X2
X3
S1
S2
S3
NK








Z
-21
-18
-15
0
0
0
0








S1
-90
-20
-40
1
0
0
-200
S2
-30
-80
-60
0
1
0

-180








S3

-10

-20

-60


0
0
1


-150
























Rasio

21/90
18/20

15/40

0
0
0


-
























¾ Iterasi-1:









































VB

X1


X2
X3



S1


S2

S3

NK






















Z

0


-40/9

-9



-7/30


0

0

140/3























X1

1


2/9

4/9


-1/90


0

0

20/9

S2

0

-220/3
-140/3

-1/3
1
0








-340/3

S3

0

-160/9  -500/9  -1/9
0
1







-1150/9






















Rasio

-

0.0485
0.19286

0.7
-
-




























¾ Iterasi-2







































VB

X1
X2


X3

S1

S2
S3
NK




















Z
0
0


-611/99

-0.213131
-2/33
0
53.535


















X1
0
0


10/33

0.0303
1/330
0
1.8788

X2
0
1


7/11


1/220

-3/220
0







17/11

S3
0
0


-44.2424
-0.0303
-0.02424
1





-100.3030


















Rasio
-
-


0.139498
7.0340
2.500
0
-























¾ Iterasi-3--->



optimal





























VB
X1

X2

X3


S1


S2

S3



NK
















Z
0

0


0


-0.208934

-0.0572

-0.13948

67.52628
















X1
1

0


0


0.000000140.00286
0.006848

1.19173

X2
0

1

0

0.0041127
-0.013986 0.01438






0.102818
X3
0

0

1

0.00068
0.00055
-0.0226







2.267

























KASUS KHUSUS DALAM SIMPLEKS

Ada beberapa kasus khusus dalam simpleks. Kadang kala kita akan menemukan bahwa iterasi tidak berhenti, karena syarat optimalitas atau syarat kelayakan tidak pernah dapat dipenuhi. 

            Adakalanya juga solusi yang dihasilkan antara satu iterasi dengan iterasi berkutnya tidak berbeda. Kasus khusus ini terdiri dari solusi optimal lebih dari satu, degeneracy, solusi tidak terbatas dan solusi tidak layak. Dua terakhir dapat terjadi karena kesalahan baik dalam perhitungan iteratif ataupun dalam pembentukan model atau formulasi permasalahan.

Solusi Optimal Lebih dari satu

Ketika fungsi objektif paralel terhadap pembatas yang dipenuhi dalam arti persamaan oleh solusi optimal, fungsi objektif akan mengasumsikan nilai optimal sama pada lebih dari satu titik solusi. Kondisi seperti ini kita kenal dengan solusi optimal lebih dari satu (alternative optima). Perhatikan kasus berikut:
                               Maks z = 2x1 + 4x2
                              Terhadap x1 + 2x2 ≤ 5
                                                x1 + x2 ≤ 4
                                                  x1, x2 ≥ 0

Tabel awal

VB
X1

X2
S1
S2
Solusi
Rasio








Z

-2
-4
0
0
0
-








S1

1
2
1
0
5
5/2








S2

1
1
0
1
4
2








Iterasi – 1

VB
X1

X2

S1

S2

Solusi
Rasio











Z

0

0

2

0
10












X2

1/2

1

1/2

0
5/2













S2
½
0
-1/2
1
3/2









Perhatikan nilai baris z untuk variabel x1 juga menjadi nol saat x2 berubah menjadi variabel masuk. Jika iterasi tersebut kita lanjutkan dengan memilih x1 sebagai variabel masuk, maka akan didapatkan tabel hasil iterasi kedua berikut:

Iterasi-2

VB
X1

X2

S1

S2

Solusi
Rasio











Z

0

0

2

0
10












X2

0

1

1

-1
5/2












X1

1

0

-1

2
3/2














Dalam praktek, pengetahuan akan solusi optimum yang lebih dari satu akan sangat bermanfaat karena manajemen mempunyai kesempatan untuk memilih salah satu sesuai dengan situasi yang mereka miliki tanpa harus merusak nilai tujuan.

Degeneracy

Pada bagian 4.4 di atas, ada kemungkinan saat akan menentukan sel keluar, rasio pembagian terkecil lebih dari satu, dan kita akan memilih salah satu secara sembarang. Jika hal ini terjadi, satu atau lebih variabel akan sama dengan nol (0) pada iterasi selanjutnya. Solusi pada iterasi dimana satu atau lebih variabel mempunyai nilai nol (0) kita sebut sebagai degeneracy.

Degeneracy terjadi secara praktek karena ada minimum satu fungsi kendala yang redundan. Dalam iterasi, kita dapat mengenalinya dengan cara berikut.

Maks z = 3x1 + 9x2

                                 Terhadap x1 + 4x2 ≤ 8
                                                x1 + 2x2 ≤ 4
                                                 x1, x2 ≥ 0
Penyelesaian simpleks kasus di atas adalah:

VB
X1

X2
S1
S2
Solusi
Rasio








Z

-3
-9
0
0
0
-








S1

1
4
1
0
8
2








S2

1
2
0
1
4
2









Kalau anda perhatikan tabel di atas, ada dua kandidat baris pivot, sehingga ada dua kandidat variabel keluar. Kita dapat memilih salah satu. Jika kita pilih baris s1 maka solusi pada iterasi pertama adalah sebagai berikut:

VB
X1

X2

S1

S2

Solusi
Rasio











Z

-3/4

0

9/4

0
18
-











X2

1/4

1

1/4

0
2
8











S2

1/2

0

1/2

1
0
0












Nilai kanan s2 menjadi 0 dan tabel belum optimum. Variabel x1 menjadi variabel masuk dan s2 menjadi variabel keluar. Iterasi berikutnya sebenarnya tidak mengubah solusi optimal, seperti yang ditunjukkan tabel di bawah ini.

Iterasi-2
 --->
optimal












VB
X1

X2

S1
S2
Solusi








Z

0

0
3/2
3/2
18










X2
0
1
0
-1/2
2






X1
1
0
1
2
0







Melihat pembatas yang redundan sangat mudah menggunakan solusi grafik. Garis dari fungsi pembatas yang redundan melewati hanya salah satu titik pada daerah penyelesaian yaitu solusi optimal, dan hal ini sebenarnya tidak berarti dalam penentuan solusi optimal. Karena tanpa garis fungsi pembatas itupun, solusi optimal sudah dapat diidentifikasi menggunakan fungsi pembatas yang lain.
Dari sudut pandang teoritis, degeneracy mempunyai implikasi dua. Pertama, berhubungan dengan fenomena pengulangan. Iterasi 1 dan 2 di atas hanya merupakan pengulangan yang memberikan nilai tujuan sama, yaitu 18. Secara umum dapat diterima, pada kasus ini prosedur simpleks akan terus berulang tanpa ada akhir tapi tidak memperbaiki solusi. Kedua, meskipun variabel basis dan non basis berbeda pada setiap iterasi, tetapi nilai semua variabel dalam iterasi adalah sama, yaitu x1 = 0, x2 = 2, s1 = 0, s2 = 0 dan z = 18.

Solusi Tidak Terbatas

Ada kalanya kita menemukan nilai variabel meningkat tak terbatas tanpa melanggar pembatas, artinya ruang solusi tidak terbatas paling tidak untuk satu arah. Sebagai akibatnya, nilai tujuan akan meningkat (untuk kasus maksimisasi) atau menurun (untuk kasus minimisasi) tanpa ada batas. Dalam kasus kita sebut ruang solusi dan nilai tujuan optimum tidak terbatas.
Solusi tidak terbatas hanya mengindikasikan satu hal, yaitu model myang dibangun salah. Mendapatkan keuntungan yang tidak terbatas misalnya tentunya tidak masuk akal. Salah satu yang paling umum yang menyebabkan solusi tidak terbatas adalah tidak memasukan pembatas yang bukan redundan pada model atau parameter (konstanta) beberapa pembatas tidak dihitung dengan benar. Perhatikan kasus berikut:

Maks z = 2x1 + x2

                                  Terhadap x1 - x2 ≤ 10
                                                       2x1 ≤ 40
                                                  x1, x2 ≥ 0
iterasi-0

VB
X1

X2

S1

S2

Solusi

Rasio












Z

-2

-1

0

0

0













S1

1

-1

1

0

10
10












S2

2

0

0

1

40
20












Iterasi-1























VB
X1

X2

S1

S2

Solusi

Rasio












Z

0

-1

0

1

40












S1

0

-1

1

-1/2
-10













X1

1

0

0

½

20














Jika iterasi itu diteruskan, tidak akan pernah berhenti. Nilai z akan meningkat terus. Pada tabel awal sebenarnya kita sudah dapat mengidentikasi bahwa nilai tujuan akan meningkat terus tanpa ada batas dengan memperhatikan koefisien pembatas kolom x2 yang bernilai -1 dan 0. Nilai koefisien pembatas ini menunjukkan bahwa x2 dapat dinaikkan tanpa ada batas, sehingga nilai z juga akan meningkat tanpa ada batas.

Solusi Tidak Layak

Jika pembatas tidak dapat dipenuhi secara bersamaan, maka kita berhadapan dengan solusi tidak layak. Solusi tidak layak tidak akan pernah terjadi jika semua fungsi kendala menggunakan pertidaksamaan ≤ (asumsikan nilai kanan adalah positif), karena variabel slack selalu memberikan solusi layak. Solusi optimal dapat terjadi jika fungsi pembatas ada yang menggunakan pertidaksamaan ≥, kita menggunakan variabel buatan sebagai variabel basis awal, dimana variabel buatan berdasarkan desainnay tidak memberikan solusi layak bagi model awal. Meskipun dalam prosedur iterasinya kita memaksa variabel buatan bernilai 0 pada solusi optimum, hal ini hanya akan terjadi jika model mempunyai ruang solusi layak. Sering juga terjadi, minimum satu variabel buatan bernilai positif pada solusi optimum. Hal ini mengindikasikan bahwa permasalahan tidak mempunyai solusi layak.


Dari sudut pandang praktikal, solusi tidak layak terjadi karena model tidak diformulasikan dengan benar, dimana beberapa pembatas saling bertentangan. Hal lain yang menyebabkan solusi tidak layak adalah bahwa pembatas tidak dimaksudkan untuk dipenuhi secara bersamaan. Perhatikan kasus berikut:
Maks z = 3x1 + 2x2







Terhadap
2x1 + x2 ≤ 2








3x1 + 4x2 ≥ 12







x1, x2 ≥ 0






Solusi awal dengan metode M besar
















VB
X1
X2

S1

S2
A1

Solusi
Rasio










Z
-3-3M
-2-4M

M
0

0
-12M












S1
2

1

1
0

0
2
2











A1
3

4

0
-1

1
12
3











Iterasi-1





















VB
X1
X2

S1

S2
A1

Solusi
Rasio











Z
1+5M

0

M
2+4M

0
4-4M












X2
2
1
1
0
0
2









A1
-5
0
-1
-4
1
4











Pada iterasi optimal, variabel buatan A1 masih bernilai positif dan ≥ dari 0. Hal ini mengindikasikan bahwa ruang solusi tidak layak.

Daftar Pustaka :


https://www.academia.edu/11623031/METODE_BIG_M